Nội Dung Cần Nhớ
7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ Hằng Đẳng Thức Mở Rộng Ứng Dụng Của Hằng Đẳng Thức Hằng Đẳng Thức Trong Giải Tích, Số Phức & Đại Số Hiện Đại Hệ Quả Hằng Đẳng Thức
➤ Bình phương của một tổng:
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
✽ Ví dụ:
\((x+5)^2=x^2+10x+25\)
➤ Bình phương của một hiệu:
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
✽ Ví dụ:
\((x-4)^2=x^2-8x+16\)
➤ Hiệu hai bình phương:
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
✽ Ví dụ:
\(4x^2-25=(2x-5)(2x+5)\)
➤ Lập phương của một tổng:
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
✽ Ví dụ:
\((x+5)^3=x^3+15x^2+75x+125\)
➤ Lập phương của một hiệu:
\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
✽ Ví dụ:
\((x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8\)
➤ Tổng hai lập phương:
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
✽ Ví dụ:
\(x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)\)
➤ Hiệu hai lập phương:
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
✽ Ví dụ:
\(27-x^3=(3-x)(9+3x+x^2)\)
➤ Hiệu hai lũy thừa bậc cao:
\(a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1})\)
✽ Ví dụ:
\(x^5-y^5=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)\)
➤ Tổng hai lũy thừa bậc cao:
\(a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\ldots-ab^{n-2}+b^{n-1})\)
✽ Ví dụ:
\(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\)
➤ Rút gọn biểu thức:
a) \((x+3)^2-(x-3)^2\)
b) \((x+2)^2-(x-2)^2\)
✽ Giải:
a) \(\begin{matrix} &(x+3)^2-(x-3)^2 \\ =&x^2+6x+9-(x^2-6x+9) \\ =&12x \end{matrix}\)
b) \(\begin{matrix} &(x+2)^2-(x-2)^2 \\ =&x^2+4x+4-(x^2-4x+4) \\ =&8x \end{matrix}\)
➤ Tính nhanh:
a) \(97^2\)
b) \(52^2\)
✽ Giải:
a) \(\begin{matrix} 97^2&=&(100-3)^2 \\ &=&100^2-2.100.3+3^2 \\ &=&9409 \end{matrix}\)
b) \(\begin{matrix} 52^2&=&(50+2)^2 \\ &=&50^2+2.50.2+2^2 \\ &=&2704 \end{matrix}\)
➤ Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) \(x^4-16\)
b) \(x^6-64\)
✽ Giải:
a) \(\begin{matrix} &x^4-16 \\ =&(x^2-4)(x^2+4) \\ =&(x-2)(x+2)(x^2+4) \end{matrix}\)
b) \(\begin{matrix} &x^6-64 \\ =&(x^2-4)(x^4+4x^2+16) \\ =&(x-2)(+2)(x^4+4x^2+16) \end{matrix}\)
➥ Hằng đẳng thức trong giải tích
➤ Công thức đạo hàm của tích:
\((fg)'=f'g+fg'\)
➤ Công thức đạo hàm của thương:
\(\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}\)
➥ Hằng đẳng thức trong số phức
➤ Định nghĩa số phức:
\(i^2=-1\)
➤ Định lý Euler:
\(e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta\)
➥ Hằng đẳng thức trong đại số hiện đại
➤ Công thức nhị thức Newton:
\((a+b)^n=\displaystyle \sum_{k=0}^n \left(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right) a^{n-k}b^k\)
➤ Công thức nhân ma trận:
\((AB)C=A(BC)\)
➤ \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\)
➤ \((a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)\)
➤ \(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
➤ \((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2\)
➤ \(a^4 + b^4=(a^2 + b^2)^2-\left(\sqrt{2ab}\right)^2=(a^2+b^2+\sqrt{2}ab)(a^2+b^2-\sqrt{2}ab)\)
➤ \((a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\)
➤ \((a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\)